Ángulos en sistema diédrico.

Como repaso de diédrico y de algunos de los procedimientos aprendidos, os dejo aquí un enlace a los casos básicos de ángulos en sistema diédrico.
También os facilito el enlace a la página de Trazoide en la que podréis encontrar ejercicios de ángulos resueltos.

Perspectiva Axonométrica: Isométrica.

En el siguiente enlace tenéis ampliada la explicación teórica y práctica de la perspectiva isométrica.

3. NORMALIZACIÓN

3. NORMALIZACIÓN

3.1 Análisis y exposición de las normas referentes al Dibujo Técnico

3.2 Principios de representación. Posición y denominación de las vistas según el método de representación del primer diedro de proyección. Elección de las vistas y vistas particulares.

3.3 Principios y normas generales de acotación. Normas fundamentales para la acotación en el dibujo industrial, en el dibujo de ingeniería y en el de arquitectura.

Presentación sobre cómo acotar

Secciones en sistema diédrico

El tema de las secciones  es uno de los más apasionantes del sistema diédrico, así como algo muy tangible e intuitivo, no tan abstracto como los puntos o las rectas.
En el siguiente enlace, Secciones, tienes toda la información necesaria para realizar distintos tipos de secciones en cuerpos de caras planas o de revolución.

Intersección de una recta oblicua con una esfera

Sección de un plano proyectante en una esfera.

Ejercicio de selectividad: representación de una pirámide contenida en un plano oblicuo.

Sección de una pirámide por un plano oblicuo por cambio de plano.

Abatimiento de la sección de un plano oblicuo en una pirámide.

Ejercicio resuelto de selectividad: sección plana de una pirámide recta.

En este enlace tenéis la resolución de este ejercicio, en el que se os pide trazar un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 30 mm que sean tangente a las trazas del plano, además de representar la pirámide recta de base el hexágono obtenido y determinar la sección que produce en ella un plano de perfil.
También podéis verlo desglosado en este enlace.

Sección de una pirámide oblicua por plano proyectante y VM de la sección.

Ejercicio de selectividad resuelto: Cubo apoyado en un plano proyectante.

Intersección de recta y cono recto.

Este ejercicio en realidad es la intersección de una recta con un cono oblicuo, pero la explicación espacial es básicamente la misma. En la página 399 del libro de Editécnicas podéis hallar la explicación gráfica del ejercicio de intersección de recta oblicua y cono recto.

Sección de un cono por plano oblicuo: cambio de plano.

Otro método para hallar la sección en una pirámide.

Intersección de un plano oblicuo en un cilindro recto.

Este ejercicio también se podría resolver por cambio de plano. En este enlace tenéis la resolución por este método.

Cambio de plano: de oblícuo a proyectante vertical.

Diédrico: enlaces de interés.

Giros en sistema diédrico: Magnifica página de J.A. Cuadrado que nos explica los giros en sistema diédrico mediante animaciones flash. Contiene ejercicios resueltos por pasos y ejercicios de evaluación.

Tangencias: Problemas de Apolonio. Resolución por ejes y centros radicales.

Problemas de tangencias, Apolonio , casos CCC, PCC, RCC, RRC, PRC, RPR

Caso CCC

1.-Dibujar una circunferencia que pase por tres puntos. Primer caso: PPP. Sólo hay un a circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.

2.-Dibujar las circunferencias que pasen por dos puntos y que sean tangentes a una recta. Segundo caso: PPR.

3.-Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Tercer caso: PRR. Hay dos soluciones.

4.-Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Cuarto caso: RRR. Hay cuatro soluciones.

5.-Dibujar las circunferencias que pasen por dos puntos y sean tangentes a una circunferencia. Quinto caso: PPC.

6.-Dibujar las circunferencias que pasen por un punto y sean tangentes a una recta y a una circunferencia. Sexto caso: PRC.

7.-Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectas y a una circunferencia. Septimo caso: RRC.

8.-Dibujar las circunferencias tangentes una recta y a dos circunferencias . Octavo caso: RCC.

9.-Dibujar las circunferencias que pasen por un punto (cuando sea exterior a las dos, cuando sea interior a una , cuando perteneza a una) y sean tangentes a otras dos circunferencias. Noveno caso: PCC.

10.-Dibujar las circunferencias tangentes a otras tres circunferencias. Décimo caso: CCC.

Inversión.

Definición

La Inversión en Dibujo Técnico es una transformación geométrica en la que a una figura corresponde otra y en la que se cumple que:
Dos puntos inversos (A, A’) están alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión (O)
El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante (K) y se llama Potencia de Inversión.

Esto quiere decir que OA·OA’ = OB·OB’ = OT·OT = K

Trazando sucesivas rectas secantes a esta circunferencia encontramos más puntos y sus inversos. Puesto que K es constante, cuanto mayor sea OA, menor será OA’, es decir, cuando más alejado esté un punto A del Centro O, más cerca estará su inverso A’ del Centro O.

Existe una distancia para la cual un punto A y su inverso son iguales.

Lo puedes ver en el dibujo anterior. Se trata del punto de tangencia. El punto T coincide con su inverso y para él también se cumple que

OT·OT = K

Por tanto,

OT = Raíz cuadrada de K

Todos los puntos situados a la misma distancia del centro de inversión que este punto T son dobles. A este Lugar Geométrico se le llama Circunferencia de Puntos Dobles (CPD)

Circunferencia de Puntos Dobles o Circunferencia de Autoinversión

La Circunferencia de Puntos Dobles (o circunferencia de Autoinversión) es el Lugar Geométrico de los puntos del plano que tienen sus inversos en sí mismos. Estos puntos equidistan del Centro de Inversión una distancia igual a la raíz cuadrada de la Potencia de Inversión K.

Cómo dibujar la Circunferencia de Puntos Dobles

En realidad es muy sencillo. Dibuja una circunferencia que contenga dos puntos inversos A-A’ y dibuja la recta tangente a dicha circunferencia desde el Centro de Inversión. Esto determinará un punto de Tangencia.

La circunferencia con centro en O y radio O-T es la Circunferencia de Puntos Dobles.

En el dibujo anterior está muy claro.

Características de la Inversión

1. Dos pares de puntos inversos no alineados forman siempre una circunferencia

2. Dados dos puntos A, B y sus inversos A’, B’, las rectas A-A’ y B-B’ son antiparalelas de las rectas A-B y A’-B’

Esto quiere decir que el ángulo que forma la recta A-A’ con A’-B’ y con A-B son iguales que los que forma la recta B-B’ con A-B y con A’-B’ respectivamente.

3. Si K>0, la Inversión es positiva. Si K<0, es negativa y en este último caso la Inversión no tiene puntos dobles.

Determinar una Inversión

Una Inversión puede venir determinada de 3 maneras diferentes:

1.     Dado el Centro de Inversión y un par de puntos inversos

2.    Dado el Centro de Inversión y la Potencia de Inversión

3.    Dados dos pares de puntos inversos no alineados.

Veamos a continuación cada uno de los casos.

1. Dado el Centro de Inversión O y un par de puntos inversos A, A’, determinar el punto inverso de B.

Dibuja la circunferencia que pasa por A, A’ y B. Para ello traza las mediatrices de los segmentos A-A’ y A-B. El punto de intersección es el centro de la circunferencia que buscamos. Une B con el Centro de Inversión y obtendrás B’.

2. Dado el Centro de Inversión O y el valor de la inversión OT, determinar el punto inverso de A

Dibuja una circunferencia de radio OT con centro en el Centro de Inversión. Esta es la Circunferencia de Puntos Dobles. Toma un punto T cualquiera de la circunferencia. Dibuja la mediatriz del segmento A-T y la tangente a la circunferencia por T. En la intersección de ambas rectas se encuentra el centro C de una circunferencia de radio C-T que contiene el inverso de A. Une O con A para encontrarlo.

3. Dados dos pares de puntos inversos A, A’ y B, B’, determinar el punto inverso de D.

En la intersección de las rectas A-A’ con B-B’ se encuentra el Centro de Inversión. Dibuja la circunferencia que pasa por los puntos A, A’ y D. Une O con D y obtendrás D’ sobre dicha circunferencia.

Los 5 casos de inversión

A continuación conocerás los 5 casos posibles de inversión. Estos los podrás aplicar a cualquier problema que se te presente.

1. La inversa de una recta que pasa por el Centro de Inversión es ella misma

¡Ojo! Esto no significa que cada punto sea inverso de sí mismo. Esto sólo ocurre en los puntos pertenecientes a la Circunferencia de Puntos Dobles.

Significa que un punto contenido en esa recta tendrá su inverso en la misma recta.

¿Cómo obtener, en este caso, el punto inverso?

Dados un Centro de Inversión O, un par de puntos inversos A, A’ y un punto B,

1.     Toma un punto C aleatorio que no pertenezca a la recta y dibuja la circunferencia que contiene a A, A’ y C. Por la propiedad de que dos pares de puntos inversos siempre forman una circunferencia, podemos asegurar C’ estará en esta circunferencia.

2.    Dibuja la circunferencia que pasa por C, C’ y B. En el punto de corte de esta circunferencia con la recta A-A’ se encuentra B’

(Los trazados auxiliares no aparecen para evitar confusiones en el dibujo. Como sabes, el centro de la circunferencia que pasa por tres puntos está en la intersección de las mediatrices de dos de los segmentos que unen dichos puntos)

2. La inversa de una recta que no pasa por el Centro de Inversión es una circunferencia que sí pasa por el Centro de Inversión.

Se cumple además que la recta que une el Centro de Inversión con el centro de la circunferencia es perpendicular a la recta dada.

Dados el Centro de Inversión O, un par de puntos inversos A, A’ y una recta r,

1.     Dibuja la recta perpendicular a la dada que pase por el Centro de Inversión. Sobre esta recta se encontrará el centro.

2.    Toma un punto cualquiera B de la recta y encuentra su inverso B’, haciendo pasar una circunferencia por A, A’ y B.

3.    Dibuja la mediatriz de O-B’, ya que la circunferencia debe pasar por ambos puntos. Esta determinará el centro de la circunferencia inversa de r, cuyo radio será O-B’

3. La inversa de una circunferencia que pasa por el Centro de Inversión es una recta que no pasa por el Centro de Inversión

Este es el caso complementario del anterior. Dados un Centro de Inversión, un par de puntos inversos y una circunferencia, la recta inversa que buscamos será perpendicular a la recta O-C. Por tanto, dibuja la recta O-C y su perpendicular por el punto A’.

4. La inversa de una circunferencia que no pasa por el Centro de Inversión es otra circunferencia homotética de la primera.

Dados el Centro de Inversión, un par de puntos inversos y una circunferencia

1.     Une el centro de la circunferencia con el Centro de Inversión. Sobre esta recta estará el centro de la circunferencia inversa.

2.    Dibuja ahora la recta tangente a la circunferencia desde el Centro de Inversión. Como sabes, tienes que dibujar la mediatriz del segmento O-C y desde el punto medio M trazar un arco de circunferencia con radio M-O. Los puntos de corte determinan los puntos de tangencia T.

3.    Halla el inverso T’ del punto de tangencia T. Este se encontrará en la circunferencia que pasa por T, A y A’.

4.    Por el punto T’, pasa una perpendicular a la recta O-T y estó definirá el centro de la circunferencia inversa.

5. La inversa de una circunferencia que pasa por un par de puntos inversos es inversa de sí misma.

¡Atención! Cada punto de la circunferencia no es inverso de sí mismo, sino que cada punto de la circunferencia tiene su inverso sobre la propia circunferencia.

Esto se basa en la 1ª característica de la Inversión que he enunciado más arriba: Dos pares de puntos inversos no alineados forman siempre una circunferencia.

***

Ejercicio de las PAU resuelto en el Examen Modelo de las PAU de Madrid 2014.

A1. Hallar el inverso del triángulo ABC conocido el centro de inversión I y que el inverso de A es C.

Para obtener la figura inversa del triángulo, buscaremos en primer lugar los puntos inversos de sus vértices.

·       El inverso de A está sobre C, según el enunciado, es decir A’=C.

·       El inverso de C, por tanto, estará sobre A, es decir C’=A. Esto se debe a la propiedad de la inversión por la que IAxIA’=ICxIC’. Si IA es igual a IC’, entonces IA’ debe ser igual, necesariamente a IC.

·       Para obtener el punto inverso de B, tenemos que hallar la circunferencia respecto a la cual las potencias de los puntos A, A’, B y B’ es constante. Para ello, dibuja la circunferencia que pasa por los puntos A, A’ y B (centro O1 de la circunferencia en la intersección de las mediatrices). Seguidamente une el punto B con el centro de inversión I y en la intersección con la circunferencia se encontrará B’.

Ahora tenemos que encontrar la figura inversa de cada lado del triángulo.

·       La figura inversa de una recta que pasa por el centro de inversión es otra recta. Por tanto, la inversa del lado AC es la recta A’C’.

·       La figura inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión será una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión.

Por tanto, para hallar la circunferencia inversa de BC, tendremos que encontrar la circunferencia que pasa por B’, C’ y por el centro de inversión I. Dibuja las mediatrices de los segmentos B’I y C’I. En su intersección estará el centro O2 de la circunferencia.

De igual manera deberás proceder para obtener la circunferencia inversa de la recta AB. Encuentra la mediatriz de A’B’. La mediatriz de B’I ya la has dibujado anteriormente. Dibuja la circunferencia que tiene como centro la intersección O3 de estas dos mediatrices y radio O3-A’.

Lógicamente de las circunferencias halladas sólo tenemos que quedarnos con los arcos situados entre los vértices A’, B’ y C’.